变换与矩阵 agile Posted on Oct 2 2021 优秀博文 > 本文由 [简悦 SimpRead](http://ksria.com/simpread/) 转码， 原文地址 [zhuanlan.zhihu.com](https://zhuanlan.zhihu.com/p/362551995) 什么是变换？ ------ 变换，其实都是将一个输入的值，进过一些操作，变成一个新的输出值。例如输入一个点的位置 0，最后输出其位置 10，即发生了移动变换。由这一个特性也可得出，所谓的**变换其实就是函数**。 > 输入值 x -> 变换（ 函数 f(x) ） -> 输出值 x 而使用变换是为了让我们以**运动**的方式去思考，例如前面提到位置 0 变为 10，我们要想成是从 0 慢慢移动到 10，并不是一下子变为 10。 在**线性代数**中，变换考虑的是一个**向量**的输入以及输出，向量的起点都为原点，例如将向量 (2,4) 缩放 0.5 倍，即得到向量(1,2)。 对于一个整个空间（称之为**线性空间**或**向量空间**），我们可以看作空间内有无数个点，而原点到每一个点的连线即为一个向量。空间的变换即空间中每一个向量都移动到对应输出向量的位置，也可以看作是空间中的每个点移动到变换后的目标位置。 例如下图，便是一个简单的空间旋转变换，向量 (0,1) 旋转后变为(1,0)。  接下来我们来看一个比较复杂的变换，如下图，为**复平面**上  的变换：  注：gif 来源：[线性代数的本质 - 03 - 矩阵与线性变换](https://www.bilibili.com/video/av6043439) 看着很高级，那么它是怎么变换成这样的呢？首先我们要了解何为复平面，简单来说复平面是用来表示复数的，即 a+bi，其中 a 和 b 为实数，i 为虚数（即：  ）。复平面中 x 轴的值代表着复数中**实部** a 的值，y 轴的值代表着**虚部** b 的值，因此点 (1,1) 代表着 1+i，点 (7,-8) 代表着 7-8i。清楚这一点后，我们就可以通过一些特殊的点，来计算出其变化后的值了，例如：  上面其实也就解释了下图中两根黄线的变化前后的缘由。至于为什么要在复平面上，应该是因为如果单纯的只是**向量的平方那是没有意义的**，因为向量是一个 2*1 的矩阵，向量的平方即为 2*1 的矩阵乘以 2*1 的矩阵，根据矩阵的乘法定义，我们知道它们无法相乘。  线性变换 ---- 线性代数限制在一种特殊类型的变换上，即线性变换。如果一个变换拥有以下两个性质，我们就称它为线性的变化： * 直线在变换后仍保持直线，不能有所弯曲。 * 原点保持固定 我们知道变换即为一个函数，我们假设这个函数为 f(x) ，那么站在数学的角度上，如果同一个空间中的任意两个**向量**  和  ，以及**数域**中的一个数 k（可以简单的理解为 k 为一个实数），满足以下条件的话，函数 f(x) 即为线性变换： *  *  例如 f(x) = 2x ，代表着一个放大两倍的变换，设  ，  ，那么  。 可得到  ，  ，  ，满足第一条定则。 设 k=3，那么  ，  ，满足第二条定则。 因此该变换为线性变换。 ### 推导 在二维空间中，设两个基向量  ，  那么任意一个向量  都有  。当空间发生线性变换后，所有向量都会发生变换，包括我们的基向量。假设变换后  ，  ，根据线性变换的那两个性质，那么变换后的  即等于  我们把它写成矩阵的形式： >  到这一步我们发现，我们输入的向量为  ，输出的向量为  ，学习了矩阵的乘法后会发现，这个结果不就是矩阵  乘以  的值。 **因此线性变换的本质即是一个矩阵与向量的相乘，**所有二维的线性变换都可以通过下面表达式来表达： >  **并且矩阵**  **中的**  **和**  **即为**  **变化后的值，** **和**  **即为**  **变化后的值**。 若没有发生变换，那么  就等于  也就是单位矩阵，单位矩阵乘以任何向量依旧是该向量本身，即没有变换。 若向量为零向量，即  那么任何矩阵乘以它的结果依旧为  ，验证了线性变换的原点不变性。 二维变换 ---- 接下来我们先从二维空间入手，来看看常见的变换及其对应的矩阵。 ### 缩放  设缩放比例为 s，那么 (1,0) 缩放后为 (s,0)，(0,1) 缩放后为(0,s)，所以我们的矩阵为，该对角阵也称为**缩放矩阵**。 >  ### 思考 如下图，缩放后的应该是情况 1 还是情况 2 呢？  从图中我们可以看出，情况 1 是以坐标点 (2,2) 为原点进行缩放，而情况 2 是以坐标点 (0,0) 为原点进行缩放，那么哪种是对的呢？ 我们可以想象一下，图中的坐标系是一部手机，坐标系中的小方块是手机中的后置摄像头，有如下几种情况。 1. 假如我们以手机的中心（即坐标系原点）缩放整个手机，那么情况 2 是对的。也可以用向量来验证，  从 (1,3) 变为了 (2,6)，属于线性变换。 2. 假如我们以摄像头的中心（即坐标系的 (2,2)）缩放整个手机，那么情况 1 是对的。但是这种情况手机的中心点坐标也发生了移动（从(0, 0) 变到了(-2,-2)），不符合线性变换原点不动的性质，因此他不是一个线性变换。它属于一个复合变换，平移 -》缩放 -》平移，后续会介绍到。 注意：后续介绍到的几种变换也都会有一样的情况，例如对称可以以 y 轴对称，也可以以 x=1 的轴对称，旋转可以以原点旋转，也可以以其他任意点旋转。但是我们后面介绍的几个变换的前提都是线性变换，因此都是以原点或者原点相关的轴进行变换。 ### 对称 若是沿 y 轴对称，那么 (1,0) 变为 (-1,0)，(0,1) 不变，那么矩阵为  >  同理若为沿着 x 轴对称，矩阵则为  ### 切变 如下图，即为一种切变（空间中所有的竖线以与 x 轴的交点为中点进行倾斜）  可以发现 (1,0) 在切变后保持不变，(0,1)在切变后变为(a,1)，a 即为切变的偏移量，上图中 a=1。 因此切变的矩阵为  >  ### 旋转 设我们的线性空间逆时针旋转 θ 度，通过三角函数我们可以知道，(1,0) 变为 (cosθ, sinθ)，(0,1) 变为 (-sinθ, cosθ) 因此逆时针旋转 θ 度的矩阵为  ### 平移 平移是一个非常特殊的变换，我们知道若一个点 (x,y) 在坐标系上平移 (i,j) 后的位置为 (x+i,y+j)，但是对于向量而言，(x,y)无论怎么移动始终都是 (x,y)，例如两个初始向量(0,1) 和(1,0)平移后依旧不变（转换为矩阵就是单位矩阵），因为向量拥有**平移不变性**。 因此平移变换的表达式应为一个向量加上一个偏移向量，而不是矩阵与向量的相乘了，如下： >  该表达式也无法用矩阵相乘的方式来表示，因为  的两个方程式为 ax+by 和 cx+dy，a，d，b，c 无论如何取值都不可能等价于 x+i 和 y+j。因此**平移变换不是线性变换**。 ### 仿射变换 理解线性变换和平移之后，仿射变换理解起来就非常的简单了。仿射变换即先做一次线性变换，然后再做一次平移变换，其表达式如下： >  齐次坐标 ---- 那么有没有什么方法，可以通过一个表达式就表达好线性变换以及反射变换呢？ 聪明的数学家们就此引入了齐次坐标的概念来解决这个问题。直接来看结果（站在巨人的肩膀上的我们通过结果来反推，理解起来会更加的容易），新的表达式如下： >  可以发现当  和  为 0 时，得到的值即为 去掉 1 后就是线性变换的结果。 当  为单位矩阵时，得到的值即为  去掉 1 后就是平移变换的结果。 这样我们就可以**通过一个矩阵** **来表示这些所有的变换**了。 例如： 缩放矩阵：  旋转 + 平移矩阵：  我们会发现原本的向量  被变为了  ，这就是齐次坐标的意义。**齐次坐标会将一个原本是 n 维的向量用一个 n+1 维向量来表示**，在笛卡尔坐标系上的点  引入齐次坐标后写作了  ，例如笛卡尔坐标系上的点  可以用齐次坐标  或者  来表示。因此，与笛卡儿坐标不同，一个点可以有无限多个齐次坐标表示法。 从上面所述，也可得知，若我们有个齐次坐标 那么它对应的笛卡尔坐标即为  ，我们会发现当 w 无限接近于 0 时，x/w 和 y/w 会无限接近正无穷，因此**当 w=0 时，该齐次坐标代表一个无限远的点**。 对于 w 的值，我们还可以进行另一种理解（OpenGL 中也使用了这样的想法），如下： * 当 w=0 时，代表一个二维向量 * 当 w=1 时，代表一个二维的点 前面我们用到的是 w=1 的情况，若我们用 w=0 会出现什么结果呢？ >  得到的结果代表一个向量，并且会发现平移的操作没有了，这也表达了向量的平移不变性。 这样**当矩阵和点相乘后表示的还是一个点，和向量相乘后表示的依旧还是一个向量**。 此外在加减法中也具有一定的意义（为了方便就不写成矩阵的形式了，这里简单的写成 (x,y,w)）： * 向量 + 向量 = 向量：(x1,y1,0) + (x2,y2,0) = (x1+x2,y1+y2,0) 结果中 w=0，依旧为一个向量。 * 点 - 点 = 向量：(x1,y1,1) - (x2,y2,1) = (x1-x2,y1-y2,0) 结果中 w=0，变为一个向量。 * 点 + 向量 = 点：(x1,y1,1) + (x2,y2,0) = (x1-x2,y1-y2,1) 结果中 w=1，依旧为一个点。 * 点 + 点 = 无意义：(x1,y1,1) + (x2,y2,1) = (x1+x2,y1+y2,2) 结果中 w=2，无意义（实际上等于两点的中点，即 ((x1+x2)/2,(y1+y2)/2) ）。 ### 齐次坐标与光照 在 3D 坐标中我们无法表示一个无限远的点，而在齐次坐标中允许有无限远的点（w=0），该属性可以应用在光照的判断上。 我们知道一个点光源的无限远处是平行光，类似于太阳光，太阳是一个点光源，光线到地球后变成了平行光。因此平行光可以通过改变点光源位置向量对应的齐次坐标中的 w 的值来表示，当 w=1 时，即还在点光源的原来位置，依旧是一个点光源；当 w=0 时，即在点光源的无限远处，变为一个平行光。 复合变换 ---- 复合变换即进行多次的仿射变换，例如先旋转后缩放再平移最后切变。 假设向量  经过变换 A，然后变换 B，最后变换 C 后，我们的公式应该写为： >  由于矩阵的乘法不满足交换律（  ），因此上面的式子不能写作  。因此例如先旋转后平移的变换不等价于先平移后旋转。 所以若一个向量经过 ，  ，...  次变换后，其公式为  。其中由于这些变换矩阵都是 3*3 的矩阵（引入齐次坐标），所以相乘后的结果依旧是个 3*3 的矩阵。设 相乘后的结果为  ，那么该矩阵就可以代表上面所有的变换，这个思路可以应用于**矩阵变换的压缩**上，使用一个矩阵代表多个变换。 ### 举例 前面我们的旋转是以原点进行旋转，那么如果我们想以坐标系中的其他点进行旋转，变换的表达式应该是怎么样的？ 如下图，便是以点 (2,3) 进行逆时针旋转 45 度的前后变换：  前面我们学习了以原点旋转以及平移的操作，那么我们可以将上面的操作进行分解，如下：  三个步骤对应的矩阵分别为： 第一步，平移到原点：  第二步，逆时针旋转：  最后一步，平移回原处：  结合起来即为：  化简得：  **因此以点 (i,j) 逆时针旋转 θ 角度的矩阵为：**  同理在最前面缩放变换中，我们提到的缩放的情况 1，即可以使用这种情况来解。 逆变换 --- 和一个变换相反的变换，我们称之为逆变换，例如逆时针旋转的变换，那它的逆变换即为顺时针旋转。 假设向量  经过一次矩阵为  变换后变为  ，然后我们可以通过矩阵为  的逆变换使  变回  ，即  。由此可得  （单位矩阵），因此  为  的**逆矩阵**。 因此一个矩阵为  的变换的逆变换，对应的矩阵即为  的逆矩阵：  。 其中有个非常重要的知识点：**旋转矩阵的逆矩阵即是旋转矩阵的转置矩阵**。知道这个后，我们就可以很轻松的求出旋转变换的逆变换矩阵了，即将旋转变换的矩阵转置即可，因为矩阵求逆很难，但是求转置非常的简单，这一点在视图变换中很重要。 那么为什么呢？前面我们知道二维空间中（三维也是同理），我们的变换矩阵都是由 (0,1) 和 (1,0) 两个向量变换后的结果得到的。而这两个向量**都是单位向量，且互相正交**，这不正是我们正交矩阵的性质吗。而选择变换可以保证这两个性质不变，即旋转后，这两个向量依旧都是单位向量，且互相正交。例如若是缩放变换，变换后就不是单位向量了，切变变换，变换后就不正交了。因此我们的**旋转矩阵即为正交矩阵，其逆矩阵就是其转置矩阵**。 例如我们逆时针旋转 θ 度的矩阵  为：  ，那么他的逆变换即为顺时针旋转 θ 度，或者说是逆时针旋转 -θ 度，矩阵  即为  等价于  。 将他们相乘可得  由三角函数可知，  ，所以上面得到的值正是单位矩阵，  为  的逆矩阵，同样  为  的转置矩阵。 三维变换 ---- 前面讲的都是二维空间中的变换，接下来我们来看看三维空间中这些变换对应的矩阵。其中大部分都相似，唯一比较复杂的即是旋转变换，后面单独说。 与二维变换类似，我们可以使用一个 3*3 的矩阵来表示一个三维的线性变换： >  **并且矩阵中的** **，** ** 和**  **即为**  **变化后的值，** **，**** 和** **即为** **变化后的值，****，**** 和** **即为** **变化后的值**。 **仿射变换**的公式为： >  同样的，我们可以通过引入**齐次坐标**来表示仿射变换，公式为： >  例如缩放 s 倍的矩阵为：  三维空间的旋转变换 --------- 相比其他变换，旋转变换相对的要复杂一些。首先我们要确定我们的坐标系是左手坐标系还是右手坐标系，这会影响到 x，y，z 三个轴的相对关系，**本文我们使用右手坐标系**来进行相关的运算。右手坐标系如下图，右手四指弯曲的方向代表 x 轴到 y 轴的方向，大拇指方向代表 z 轴方向。  我们先来看看在三维空间中绕 x，y，z 三个轴中的某个轴逆时针旋转 θ 角度的矩阵。 绕 x 轴旋转，则可以看作是在 yz 平面的二维旋转，x 轴的 (1,0,0) 不变，y 轴 (0,1,0) 变为 (0,cosθ,sinθ)，z 轴的(0,0,1) 变为(0,-sinθ,cosθ)，因此对应的矩阵为：  绕 y 轴旋转，则可以看作是在 xz 平面的二维旋转，y 轴的 (0,1,0) 不变，x 轴 (1,0,0) 变为 (cosθ,0,-sinθ)，z 轴的(0,0,1) 变为(sinθ,0,cosθ)，因此对应的矩阵为：  绕 z 轴旋转，则可以看作是在 xy 平面的二维旋转，z 轴的 (0,0,1) 不变，x 轴 (1,0,0) 变为 (cosθ,sinθ,0)，y 轴的(0,1,0) 变为(-sinθ,cosθ,0)，因此对应的矩阵为：  ### 绕其中两个轴旋转 上面我们得到了分别绕 x，y，z 三个轴单独旋转的旋转矩阵，接下来我们来理解下下面这个表达式的含义： >  通过上一篇提到的复合变换，上面式子表达的应该是先绕 x 轴旋转，然后再绕 y 轴旋转。假设原先物体的 x 轴方向为 (1,0,0)，y 轴方向为 (0,1,0)，z 轴方向为 (0,0,1)，我们先将其绕 x 轴逆时针旋转 α 度，即  操作。此时物体自身的 y 轴 (0,1,0) 会跟着 x 轴的旋转变为(0,cosα,sinα)，记作 y' 。那么我们再做  操作时，旋转的 y 轴是原先的 y 还是 y' 呢？这是两种完全不一样的情况，如下图  垂直向上较长的那根绿线为 y ，而较短的绿线即为 y' ，我们来看看绕它们旋转的情况分别是怎样的：  答案是：再做  操作时，旋转的 y 轴就是原先的 y=(0,1,0)。因为  的旋转矩阵是根据 y=(0,1,0) 的情况计算出来了，因此使用该矩阵计算时，无论物体属于一个什么角度，计算出来的结果都是根据 y=(0,1,0) 这个轴进行逆时针旋转的结果（注：(0,0,0) 为物体的中心点）。 我们可以称 x 轴方向为 (1,0,0)，y 轴方向为(0,1,0)，z 轴方向为(0,0,1) 的三个轴为**世界坐标轴**，它们不根据物体的旋转而改变。而会根据物体自身的坐标轴会根据物体的旋转而改变，例如上诉中的 y' ，我们可以称之为**模型坐标轴**。（自己按照 unity 常用的说法瞎定义了，懂原理就好。） 因此上诉的两个旋转操作都是按照世界坐标轴来进行的，这种我们称之为**外旋**，表达式  ，我们可以称之为 **x-y 外旋** 操作。那么**内旋**就是使用模型坐标轴来做旋转操作咯，那么如果我想要实现先绕 x 轴旋转 α 度，在绕旋转后的模型坐标轴的 y 轴（y'）旋转 β（即 **x-y 内旋** 操作），那么应该怎么计算呢？ 首先，第一步是绕 x 轴旋转，此时物体还没发生旋转，因此模型坐标的 x 轴等于世界坐标的 x 轴，因此我们依旧可以使用  矩阵。接着我们要绕 y'=(0,cosα,sinα) 旋转，这里我们需要将其进行拆解（类似于前面二维空间绕空间中任意一点旋转那样，拆解成先把任意点移到原点，然后旋转，然后再把改点移回去），先把 y' 绕世界坐标的 x 轴旋转 -α 度，使其与世界坐标的 y 轴重叠，然后使用  矩阵进行旋转 β 角度，最后再绕世界坐标的 x 轴旋转 α 度，使旋转轴 y' 回到 (0,cosα,sinα) 方向。 因此 x-y 内旋操作即为： 1. 绕世界坐标 x 轴旋转 α 度，对应矩阵  2. 绕世界坐标 x 轴旋转 -α 度，对应矩阵  3. 绕世界坐标 y 轴旋转 β 度，对应矩阵  4. 绕世界坐标 x 轴旋转 α 度，对应矩阵  可以发现第一第二步可以抵消，因此 x-y 内旋操作等价于先绕世界坐标 y 轴旋转 β 度再绕世界坐标 x 轴旋转 α 度，即 **x-y 内旋 等于 y-x 外旋**。 上诉过程用矩阵来表达的话，我们知道绕世界坐标 x 轴旋转 -α 度即为绕世界坐标 x 轴旋转 α 度的**逆变换**，因此其矩阵即为  的逆矩阵，为  ，因此矩阵如下 > x-y 内旋 =  = y-x 外旋 （  ） 同理也可得出 x-z 内旋等于 z-x 外旋，z-y 内旋等于 y-z 内旋等等。 ### 绕三个轴旋转 知道上面这些原理后，我们再进一步，来理解下面表达式 >  同样的，上面式子可以称之为 x-y-z 外旋 操作，即先绕世界坐标的 x 轴旋转 α 度，然后在绕世界坐标的 y 轴旋转 β 度，最后绕世界坐标的 z 轴旋转 γ 度。带入可得： >  那么它是否和前面一样 x-y-z 外旋 等于 z-y-x 内旋 呢？答案是肯定的，我们来看下推导。 z-y-x 内旋，重点在于如何把 z-y 操作后模型坐标 x 轴移动到世界坐标的 x 轴上，通过前面我们知道 z-y 内旋等于 y-z 外旋，因此旋转后的模型坐标 x 轴即执行了  操作，此时的模型坐标 x 轴，我们标记为 x'。因此若我们要使得 x' 变回与世界坐标的 x 重叠，只需要执行一下相反的操作即可，即把 x' 先绕 z 轴旋转 -γ 度，然后在绕 y 轴旋转 -β 度，对应矩阵为  。 因此 z-y-x 内旋可以分解为如下几步骤： 1. 先将其分解为 y-z 外旋 + x 内旋 2. 做 y-z 外旋，对应矩阵  3. 做 y-z 外旋的逆操作，使 x' 到世界坐标 x 轴上，对应矩阵  4. 绕世界坐标 x 轴旋转，对应矩阵  5. 把 x' 归位，即再做一次 y-z 外旋操作，对应矩阵  连起来可得公式为： > z-y-x 内旋 =  = x-y-z 外旋 注：  **可得结论：所有外旋操作等于与其操作顺序相反的内旋操作。** ### 排列组合 我们一共可以得到以下六种排列组合。不同的组合得到值是不一样的，因为通过矩阵的乘法，我们知道  等。 * x-y-z 外旋（等价于 z-y-x 内旋） * x-z-y 外旋（等价于 y-z-x 内旋） * y-x-z 外旋（等价于 z-x-y 内旋） * y-z-x 外旋（等价于 x-z-y 内旋） * z-x-y 外旋（等价于 y-x-z 内旋） * z-y-x 外旋（等价于 x-y-z 内旋） 上面的这些旋转方式也就是我们常用的**欧拉角旋转**。 对于上面这些排列组合，很多会解释为每个轴对应的**层级关系**，例如 x-y-z 外旋，转动 x 后，y 和 z 在之后的计算用的还是世界坐标轴，就好像 x 的转动和 yz 没有关系。y 和 z 之间也是一样，转动 y 后，z 还是用世界坐标轴计算，不会因为 y 的改变而改变。这个就很像所谓的层级关系，**即 z 为最父层，x 为最子层，y 在中间层**，当子层转动的时候，不会影响到父层。反过来也一样，x-y-z 外旋等于 z-y-x 内旋，父层的 z 转动会影响 y 和 x（内旋用的模型坐标轴）。 欧拉角的维基百科：[https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles](https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles) ### 万向锁（Gimbal Lock） 关于万向锁是什么，看这个视频应该就可以明白了：[https://v.youku.com/v_show/id_XNzkyOTIyMTI=.html](https://v.youku.com/v_show/id_XNzkyOTIyMTI=.html) 简单来说上诉六个组合的操作，只要把中间那个操作的旋转角度设为 90 度的整数倍，就会触发万向锁。 我们可以从内旋的角度很好理解，以 z-y-x 的内旋为例子，当我们做第一步操作时，即绕模型坐标的 z 轴旋转 α 度，无论怎么旋转，z 轴都不会改变且等于世界坐标的 z 轴，但是模型坐标的 x，y 轴会跟着旋转变换。此时我们再做第二步操作，即绕模型坐标的 y 轴逆时针旋转 β 度，当 β = 90° 时，我们会发现**此时模型坐标的 x 轴会和世界坐标的 z 轴处于同一条直线，**方向相反。那么当我们再做第三步操作时，即绕 x 轴旋转，那就等于在绕世界坐标的 z 轴旋转，就等同于第一步操作，只不过方向相反。**这就是万向锁了，即欧拉角有两个角的旋转都在绕同一个轴在旋转**。 接着我们来从数学的角度分析一下：假设我们使用 x-y-z 外旋，对应的矩阵即为 ，可得到： >  此时我们把 β 的值设为 90，可得下面矩阵：  即：  最终得到： >  即无论我们的 α 和 γ 取何值，  永远等于  。 **总结：每个内旋组合，将第二个轴的旋转角度设为 90 度或其整数倍时，就会触发万向锁，此时无论第一个轴或第三个轴的旋转角度为多少，都是在绕第一个轴所对应的世界坐标轴做旋转，从而失去了一个方向（第三个轴）的旋转能力。** ### 绕 xyz 平面中的任意轴旋转 前面我们说提到的是欧拉角旋转，即绕 x，y，z 轴旋转，若我们想要计算绕 xy 平面，或者 yz 平面，xz 平面中的任意轴（比如 (0,1,1)）旋转，应该如何计算呢？ 举个简单例子，假如有个轴，它在 xy 平面上，并且经过原点，那么绕该轴做逆时针旋转 θ 度应该如何来解？首先因为这个轴在 xy 平面且经过原点，因此通过绕 z 轴旋转某个角度（设 α 度）即可将该轴转到原 y 轴的方向上，然后绕该轴的逆时针旋转即是原先绕 y 轴逆时针旋转，旋转完成后再绕 z 轴旋转 -α 度即可。这点和我们前面讲欧拉角旋转时是一样的，使用公式表达即为： >  合并得 >  上诉矩阵即为三维空间中，绕 xy 平面上过原点的任意轴逆时针旋转 θ 度的矩阵，其中 α 为该轴与 y 轴的夹角。 当然了，我们一般会给定的是一个轴 (x,y,z) 这样，而不会专门告诉你夹角多少，也就是说我们要把上面矩阵的 α 给他优化掉。那么假设在 xy 平面上的某个轴为(x,y,0)，那么绕这个轴旋转 θ 度的矩阵应该是多少呢？ 同样的，我们设 (x,y,0) 与 y 轴的夹角为 α 度，那么可得：  与  ，看着很麻烦是不是，但是如果我们的 (x,y,0) 是**单位向量**呢？那么  ，即 sinα=x，cosα=y，所以我们**第一步先把给定的轴的向量转换为单位向量**。 接着我们将它们带入到上面的矩阵中可得：  再根据矩阵的加法定则，把 sinθ，cosθ，和常量 来个质壁分离，可得：  再根据矩阵和常数的乘法，我们可以把 sinθ和 cosθ提取出来，可得到：  因为前面说过，旋转轴转为了单位向量，所以：  和  ，进一步的简化为：  可以发现，上面中间的那个矩阵，和最左边的那个矩阵很相似，其实就是单位矩阵减去左边的那个矩阵：  换下位置可以得到：  单位矩阵我们标记为  ，而  其实就是 向量  和其转置  的积（该例子中，z=0）：  **结论：若我们要绕 xy 平面上的某个轴 A=(x,y,0) 旋转 θ 度（其中 A 为单位向量），其公式为：** >  前面我们是把 xy 平面的轴转到 y 上，当然我们也可以转到 x 上，然后使用 x 的旋转，得到最终结果是一样的。举一反三也可以计算绕 xz 平面或 yz 平面的轴旋转，不过也不用举了，下面我们直接来看绕 xyz 空间中的轴旋转的公式。 ### 绕空间中过原点的轴旋转 前面我们是绕 (x,y,0)旋转，最终我们想要的肯定是绕 (x,y,z) 的旋转公式，那么绕过原点的一个轴 A=(x,y,z) 旋转 θ 度（其中 A 为单位向量），其公式应该是什么？ 其实原理都是一样的，我们要先把这个轴搞到世界坐标 y 轴（也可以是 x 或 z）上，然后执行旋转操作，最后把这个轴归位。分如下几步操作： 1. 通过绕世界坐标 y 轴旋转将该轴转到 xy 平面上，其中夹角 β 为该轴在 xz 平面上的投影 (x,0,z) 与 x 轴 (1,0,0) 的夹角。 2. 通过绕世界坐标 z 轴旋转将该轴转到 y 轴上，其中夹角 α 为该轴 (x,y,z) 与 y 轴 (0,1,0) 的夹角。（因为第一步操作时，我们的旋转轴 A 与 y 轴的夹角不会发生变换） 3. 绕世界坐标 y 轴旋转 θ 度 4. 2 操作的逆操作 5. 1 操作的逆操作 可以得到如下公式： >  因为夹角 α 的对边即为 旋转轴 A 在 xz 平面上的投影，其长度即为  根据三角函数可以得到如下几个公式：     为了方便，我们设  ，  ，（即 m*n=1），将它们带入上面矩阵，得到：  进一步得到：  因为 m*n =1 所有再简化为：  全部相乘可得：  把 sinθ， cosθ，和常量拆分出来分别可得： 常量为：  就是我们  的值 cosθ 为：  该矩阵我们来一项一项的看，第一项带入 n 值得到：  ，我们来对它进行简化，如下：  所以：  第三项带入 n 值得到：  第五项带入 m 值得到：  第七项等价于第三项。 最后一项带入 n 值得到：  ，和第一项的解法类似，最终得到：  所以简化后的矩阵为：  sinθ 为：  其中由于  提取 sinθ，可得：  **结论：若我们要绕 xy 平面上的某个轴 A=(x,y,z) 逆时针旋转 θ 度（其中 A 为单位向量），其公式为：** >  若 z=0，就是我们上面在 xy 平面上的轴旋转，同理 y=0 就是在 xz 平面上的轴旋转，x=0 就是 yz 平面上的轴旋转。 ### 绕空间中不过原点的轴旋转 前面我们的轴都是规定是过原点的，若我们想要绕不过原点的某个轴旋转，其实一样的思路，先把这个轴使用**平移变换**移动到原点处，然后做上面的操作，最后把这个轴移回去即可。因为是平移操作，使用矩阵时要使用齐次坐标的矩阵，推导就不多描述了，懂原理就肯定能算出来！ Unity 与旋转 --------- 在 Unity 中，我们在 Inspector 界面中设置 Transform 的 **Rotation** 属性，或者在代码里设置 **transform.localEulerAngles** ，这两种方法都是使用的欧拉角旋转。 此外我们还要注意，**Unity 使用的是左手坐标系**而非前面我们一直所举例用的右手坐标系。 左手坐标系：  面我们提到欧拉角旋转有 6 中排列组合，那么 Unity 使用的是哪种呢？在 Transform 的 Rotate 方法中，有如下一段注释： ``` The implementation of this method applies a rotation of zAngle degrees around the z axis, xAngle degrees around the x axis, and yAngle degrees around the y axis (in that order). ``` 因此我们可以知道，**Unity 使用的是 z-x-y 外旋，也就是 y-x-z 内旋**。 如何确定是正确的呢？我们可以创建一个 Cube，然后通过按照 y-x-z 的顺序来调整值，这个是内旋的顺序，即每次旋转都是按照模型坐标来旋转的，因此每次旋转对应的模型旋转轴不会发生改变。如下：  既然是使用欧拉角旋转，那么同样会存着万向锁的问题，因为是 z-x-y 的顺序，那么我们只需要把 x 轴旋转 90 度，就可触发万向锁，如图无论怎么修改 y 和 z，都是在绕模型坐标的 x 轴或者说是世界坐标的 y 轴在旋转。  同时我们还要注意，像图中，我们是先设置好 x 轴的旋转，然后再设置 y 或者 z 的旋转，这并不代表 unity 先旋转了 x 轴，再旋转其他轴。实际上无论我们怎么先后设置 xyz 三个轴的旋转值时，**Unity 始终都是要按照 z-x-y 的顺序来从初始位置开始旋转**。这点也很好理解，因为顺序不一样的话，结果也是不一样的。 ### 绕任意轴旋转 Transform 中提供了 **Rotate** 和 **RotateAround** 两种方法用于绕任意轴旋转。 **Rotate** 有如下三个参数，第一个参数为旋转轴的向量，第二个参数为旋转角度，第三个参数决定旋转轴的起点（默认为 Space.Self 即起点为物体的中心点，否则为世界坐标的原点）。 ``` public void Rotate(Vector3 axis, float angle, [DefaultValue("Space.Self")] Space relativeTo) { if (relativeTo == Space.Self) this.RotateAroundInternal(this.transform.TransformDirection(axis), angle * ((float) Math.PI / 180f)); else this.RotateAroundInternal(axis, angle * ((float) Math.PI / 180f)); } ``` 例如我们想绕过物体中心点的方向为 (1,1,1) 的轴旋转，使用下面方法即可 ``` transform.Rotate(new Vector3(1, 1, 1), Time.deltaTime * 30); ``` 效果如下：  **** **RotateAround** 若想自定义旋转轴的起点，则使用 RotateAround 方法即可 ``` public void RotateAround(Vector3 point, Vector3 axis, float angle) ``` 第一个参数即为旋转轴的起点，需要注意的是该起点的值为世界坐标的值，而不是相对于物体中心的偏移量。 若想绕起点在世界坐标 (1,0,0) 的向量 (1,1,1) 旋转，则代码为： ``` transform.RotateAround(new Vector3(1,0,0), new Vector3(1, 1, 1), Time.deltaTime * 30); ``` 效果图如下（图中物体中心在世界坐标 (0,0,0) 上）：  视图变换和投影变换矩阵的原理及推导，以及OpenGL，DirectX以及Unity的对应矩阵 Asset简介