向量运算与应用 agile Posted on Oct 2 2021 优秀博文 > 本文由 [简悦 SimpRead](http://ksria.com/simpread/) 转码， 原文地址 [zhuanlan.zhihu.com](https://zhuanlan.zhihu.com/p/362035810) 什么是向量 ----- **向量指具有大小和方向的量**，一般记做： **a** ，  ，  ，同时也可以用数对的形式表示，例如：(x, y) ，(7,8,9) **向量的矩阵**表示：   **向量的大小**，也就是向量的长度（一般称作为 模），向量 a 的模记为：  ，若  ，则  **单位向量：**即模为 1 的向量，可以记作  。一个向量的单位向量，可以通过除以它模得到，即  。 **零向量：**即模为 0 的向量，零向量的方向是任意的 **相反向量：**长度相等方向相反的向量，  的相反向量为  **平行（共线）向量：**方向相同或相反的非零向量，记作  向量运算 ---- 设  ，  ### 加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，   可以将其想象成一个长方形求对角线。 **运算过程：**   **一些运算律：**  交换律：  结合律：  ### 减法  ，如图  **运算过程：**   **一些运算律：**  实数和向量的积 ------- 设有实数 k，和向量  的乘积还是一个向量，记做  ，且  ，如果  ，则 k = 0 或  其几何意义为：向量的有向线段的伸长或者压缩。 **一些运算律**： 结合律：  分配律：   ### 向量的点乘（点积，内积，数量积）（Dot Product） 两个向量的数量积（点积，内积，点乘）是一个数量，没有方向，记作  **代数定义：**  **几何定义：**我们将  和  的夹角记作  ，且  若  ，  不共线，则  若  ，  共线，则  ，因为此时  则 ，若两个向量方向相反，则认为 则 。 **一些运算律：** 交换律：  结合律：  分配率：  **一些性质：**  若两个向量互相垂直，则  因此  ### 点乘的实际使用场景 1. 计算两个向量的夹角，通过点乘我们可以得到：  若  和  为单位向量，即模为 1，那么上面的式子分母即为 1，得  2. 可以用来求一个向量在另一个向量上的**投影**，例如图中  在  上的投影，我们记作   因为  是  在  上的投影，因此 的方向和  相同。因此  ，k 为一个常量， 为  的单位向量。  的值我们很好求得：  接下来要看看 k 值的含义，因为  和  方向相同， 因此  不仅是  的单位向量，同时也是  的单位向量，因此 k 即为  的模，即  然后由于  的结尾与  的结尾的连线，垂直于  （如图，也是投影的性质），因此通过三角函数，我们可以得知   的值很好求得，  我们可以通过点乘得到，因此即可求得 k 的值，然后求得  如图，通过向量的减法，我们可以得到  ，这样就把  分解成了两个互相垂直的向量。 若我们要把向量 (x, y, z) 投影到 x，y，z 的某个平面上，只需要把垂直于该平面的那个轴对应的值设置为 0 即可，例如：投影到 xy 平面，即为 (x, y, 0) ，投影到 yz 平面上，即为 (0, y, z)。若投影到某个轴上，则只保留该轴的值即可，例如：投影到 x 轴上，即为 (x, 0, 0)，投影到 y 轴上，即为 (0, y, 0)。 3. 判断一个向量的朝向是否和另个向量相似，即两个向量的**方向性**，如图  图中我们可以认为，  和  一样，同时朝向前方，而  朝向的是  的后方。我们可以通过点积的值来判断， **> 0 则为同方向（0 <= 夹角 < 90）， < 0 则为反方向（90 < 夹角 <= 180）, = 0 即为垂直（夹角 = 90）**。 因为  ，若两个都是非零向量，则  ，通过三角函数可知：当  ，  ，因此点积的值 > 0，当  ，  ，因此点积的值 = 0，当  ，  ，因此点积的值 < 0。 4. 两个向量是否**接近**，夹角越小，即两个向量越接近。通过上面 3 提到的，我们只能通过点积的值来判断夹角是钝角还是锐角还是直角，那么如何只通过点积的值来判断夹角大小呢？那就是我们把**两个向量的单位向量进行点积**。这样就会使  ，因此  ，那么当值为 1 时，代表两向量方向正好相同，当值越来越小时，代表两个向量离得越来越远，当值为 -1 时，代表两向量方向正好相反。因此**两个向量的单位向量的点积越接近 1，两个向量越接近**。 这个性质可以应用在**高光**的显示上，当**人眼看向目标的向量**和**光折射的向量**，它们越接近则高光效果越明显。 ### 向量的叉乘（叉积，向量积，外积）(Cross Product) 两个向量的向量积（叉积，叉乘，外积）是一个向量，记作  （或者  ） 我们将  和  的夹角记作  ，且 ，那么叉乘得到的向量的模长为：  **方向：**与这两个向量所在平面垂直，且遵守**右手螺旋定则**（四指方向代表旋转的方向，右手四指从  转向  时，大拇指的方向即向量积的方向）  **用矩阵表示：**  若为二维向量，即 z 的值为 0，因此  ，又因为二维没有 z 轴，所以常写作  ，该常量其实就是  。 **一些运算律：**    **一些性质：**  （因为 sin0 = 0） 若两个向量互相平行，则   的值是以  和  为边的平行四边形的面积，同样的以  和  为边的三角形的面积自然就是  （至于为什么，下面第四点解释） ### 叉乘实际使用场景 1. 建立三维坐标中的坐标系，例如给定一个 x 轴和 y 轴，我们可以通过 x 轴叉积 y 轴来获得 z 轴 *  *  *  *  *  *  注：若三维坐标系的  那么该坐标系即为**右手坐标系**。 2. 判断一个向量在另一个向量的左侧还是右侧。例如我们给定两个向量  ，  ，我们想知道  在  的左侧还是右侧，该如何判定？ 根据  和  的值，我们可以看出它俩都在 xy 平面上，根据叉积的性质我们可以知道  得到的向量一定垂直于 xy 平面（和 z 轴平行或重叠），然后根据右手螺旋法则，若  的向量的 z 的值 > 0 ，那么即表示  在  的右侧，若 z 的值 < 0 ，那么即表示  在  的左侧。 上面的例子我们是从 z 轴的正方向看向负方向，但是若从负方向看向正方向，那么原本在左边就会变成在右边，因此左右关系和我们的观察方向有关。 因此若我们从 z 轴正方向看向负方向，若两个向量组成的平面没有平行于 xy 平面，我们可以先将其投影到 xy 平面上，然后再计算左右。 3. 判断点是否在三角形内部。  其实本质上还是 2 中的思路，例如上图，我们可以利用  ，  ，  来判断 P 点是否在  ，  ，  的左侧，若成立，则 P 点在三角形 ABC 的内部。 同理可以应用到四边形等多边形中，但是必须夹角小于 180 度（如下图，ABC>180，因此 P 点即使在内部，但是却在  的右侧，  的左侧）。  这点是**三角形光栅化**的基础，要判断三角形覆盖了哪些像素，那就需要知道这些像素是否在三角形内部，好给这个像素进行着色。 4. 求三角形面积 如下图三角形，CD 长度为 h，AC 长度为 b，AB 长度为 c，AC 和 AB 的夹角为 α 。  我们知道其面积为：  因为  因此  而  正是我们向量 AC 和向量 AB 叉乘结果的模  因此  直线与三角形的重心坐标（Barycentric Coordinates）的推导与应用 矩阵运算与常用矩阵