大数算法—加减乘除 agile Posted on Jul 13 2023 数据结构与算法 ### 前言 大家好，我是bigsai！最近，大数加减频频登上笔试的舞台，小伙伴们在群里也分享自己遇到面试官碰到大数运算的题目，想着这么**重要而简单**的知识点我还没写过，那得好好和大家一起总结一下。  各位有过分类刷题的小伙伴，可能看到很多人分类 字符串、贪心、动态规划、bfs、dfs、**大数**、数论等，初听大数，你可能会差异：大数是个啥？听起来怪高大上的。  大数，其实就是很大很大数字(可能远超32、64位，基础类型无法表示)的加减法，在Java中我们可以使用一个大数类(BigInteger等)很容易解决大数的各种运算，但如果遇到面试官他肯定会让你手写的。 这个数字一般用字符串、链表等形式表示、返回，大数运算的核心就是：**模拟**，模拟我们日常用纸笔算数字的加减乘除流程，然后再根据计算机、编程语言等特性适当存储计算即可，不过，大数除法运算稍微特殊一点，和我们直接模拟的思维方式稍有不同。 ### 大数加法 大数加法是最简单的，简单模拟即可。首先，我们想一下两个数加法的流程：从右向左计算求和、进位，一直到最后。 在编程语言中同样也是模拟从右向左逐位相加的过程，不过在具体实现上需要注意一些细节。 1、枚举字符串将其转换程`char[]`提高效率 2、从右往左进行计算，可以将结果放到一个数组中最后组成字符串，也可以使用StringBuider拼接，拼接的时候最后要逆置一下顺序。 3、余数每次叠加过需要清零，两数相加如果大于等于10即有余数，添加到结果中该位置的数也应该是该数%10的结果。 4、计算完最后还要看看余数是否为1，如果为1需要将其添加到结果，例如 `"991"+"11"`算三个位置为`002`但还有一个余数需要添加，所以应该是`1002`。  当然在具体实现上方法较多，你可以首先就将字符串逆置然后从前往后就可以计算了。当然我这里实现的是字符串从后向前各个位对应计算，然后将结果顺序添加到StringBuilder上。 这题在力扣【[415两数相加](https://leetcode-cn.com/problems/add-strings/)】可以检验自己代码，实现代码为： ```java public String addStrings(String num1, String num2) { // 公众号：bigsai 欢迎你的关注 int len1=num1.length()-1,len2=num2.length()-1; char ch1[]=num1.toCharArray(); char ch2[]=num2.toCharArray(); StringBuilder sb=new StringBuilder(); int remainder =0;//计算余数 while (len1>=0||len2>=0) { int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0; int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0; int num=n1+n2+remainder;//求和对应数字 remainder=num/10;//是否进位 sb.append(num%10);// 添加到结果字符串中 } if(remainder>0)//是否还需要进位 { sb.append(remainder); } //反装即为结果 return sb.reverse().toString(); } ``` ### 大数减法 加法对应的就是减法，有了上面大数加法的实现思路，那么我想你在大数减法也应该有点想法，但是减法和加法不同的是减法有位置的区别，**加法需要进位而减法需要借位**。并且大整正数减法可能产生正负也不一定。 两个正数，如果大数减去小数，那么一切正常，结果是一个正数；**但如果小数减去大数，那么结果将是一个负数，并且结果处理起来比较麻烦**。 所以在这里全部转成大-小处理(大-小不存在不能借位的情况)。  1、执行计算前首先比较减数(`num1`)和被减数(`num2`)的大小，如果`num1>num2`,那么就模拟`num1-num2`的过程，如果`num1<num2`，那么结果就为`-(num2-num1)` 。当然可以为了稳定模拟时候一个大一个小，可将`num1`始终指向较大的那个数，少写一个if/else. 2、在比较两个数字大小的时候，因为是字符形式，首先比较两个字符串的长度，长的那个更大短的那个更小，如果两个字符串等大，那么就可以通过字典序从前往后进行比较(Java可直接使用compareTo方法)。 3、和加法不同的是，减法前面可能产生若干前缀0，这些0是需要你去掉的，例如`"1100"-"1000"`计算得到的结果位`"0100"`,你就要吧前面的0去掉返回`"100"`。 4、具体实现的时候和加法相似，如果使用StringBuilder存储，需要逆置顺序，如果是个负数，前面还要加上`'-'`. 5、每个位置正常进行减法运算，如果值小于0，那么就需要向上借位(+10),那么处理上一位进行减法时候还要将借位的处理一下。  这题在力扣上没有原题，但是可以在小米OJ【[大数相减](https://code.mi.com/problem/list/view?id=3)】上验证自己代码的正确性，具体实现的代码为： ```java public static boolean compare(String num1,String num2) { if(num1.length()<num2.length()) return false; else if(num1.length()>num2.length()) return true; else return num1.compareTo(num2)>0; } public static String subtractString(String num1,String num2) { char sign='+';//正负号 //让num1>num2 如果num1<num2 那么结果就是—(num2-num1) //可以先将num1和num2交换和前面情况统一 if(!compare(num1,num2)) { sign='-'; String team = num2; num2 = num1; num1 = team; } int len1=num1.length()-1; int len2=num2.length()-1; char ch1[] = num1.toCharArray(); char ch2[] = num2.toCharArray(); StringBuilder sb=new StringBuilder(); int borrow=0;//借位 while (len1>=0||len2>=0) { int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0; int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0; int num=n1-n2-borrow; borrow=0; if(num<0)//需要向前借位 { borrow=1; num+=10; } sb.append(num); } sb=sb.reverse();//需要先翻转 int index = 0;//去掉前面没用的’0‘ while (index<sb.length()&&sb.charAt(index) == '0') { index++; } //如果两个数相同 直接返回"0" if(index==sb.length()) return "0"; if(sign=='+')//如果正数 return sb.substring(index); else return sign+sb.substring(index);//负数需要返回 } ``` ### 大数乘法 大数乘法乍一想可能比较复杂，因为乘法比起加法可能进位不光是1，还有两个数各种位置都需要相乘计算，这时候就需要我们**化繁为简**了。 `多*多`考虑起来可能有些麻烦，但是如果`多*一`考虑起来呢？如果是多位乘以一位数，那么就拿一位的分别乘以多位数的个位、十位、百位，在计算的同时考虑一下进位的情况。 但是也可以先直接用int类型数组存储各位的乘积然后从右向左进行进位，如下图所示。  而`多*多` 也是这个道理，将不同位乘积先叠加到对应位置上，然后从右向左进位，一直到不需要进位为止。  你可能会疑问，如果**两个数组的长度分别为a和b这个数组到底该开多大呢**？ - a+b大小就够了，怎么分析呢？其中一个a不变。另一个b变成最小b+1数字即十的倍数，那么这样在相乘的时候也不过是a+b长度，所以这里a+b长度就够了。 这题有力扣对应题可以去试试【[43字符串相乘](https://leetcode-cn.com/problems/multiply-strings/)】，具体代码位： ```java public String multiply(String num1, String num2) { if("0".equals(num1)||"0".equals(num2))return "0"; char a[]=num1.toCharArray(); char b[]=num2.toCharArray(); int value[]=new int[a.length+b.length]; for(int i=a.length-1;i>=0;i--) { for(int j=b.length-1;j>=0;j--) { int index=a.length-1-i+b.length-1-j; value[index]+=(a[i]-'0')*(b[j]-'0'); } } for(int i=0;i<value.length-1;i++) { value[i+1]+=value[i]/10; value[i]=value[i]%10; } int index=value.length-1; while(value[index]==0) {index--;} StringBuilder sBuilder=new StringBuilder(); while (index>=0) { sBuilder.append(value[index--]); } return sBuilder.toString(); } ``` ### 大数除法 大数加减乘都搞定了，通过模拟来实现，但是大数除法也通过模拟来实现？ 并不是，对于大数a/b，一般最多要求求到其整数解或者余数，即a/b=c……d（a,b,c,d均为整）;也就是**a里面有c个b**，并且还剩下d。核心是先求c是多少，对于程序来说，可以通过枚举啊，将除法变成减法，从a中不断减d，一直到不能减为止。  但是有个问题，如果被除数a很大很大，可能有居多个b，那么这样时间复杂度太高了，不可能执行那么多次，那么需要怎么样去优化这个方法呢？ 那就要加速寻找次数，减少这个减法的次数了，减法次数减小的一个最好方案就是能不能**扩大除数b**。如果b后面加个`'0'`，那么算出来的结果就乘以10，减法的次数变成原来十分之一。根据这个思想我们可以一直每次找到b的最大10的倍数(小于a)计算减的次数再换算成减b的总词数，将结果要以字符串方式保留，后面一直迭代到最后为止,这虽然是一道除法运算的题，但是也蕴涵减法和加法(次数叠加到结果中)。  当然，也有一些人使用二分法来压缩寻找可以被减的次数也是可以的(加法可以迭代数字实现二分倍数)，具体实现的话也不是很困难，但是代码量可能比较多所以一般的面试笔试不会让你现场写的，所以好好掌握前面的减法、减法、乘法的代码即可。 这部分代码我也简单给一下(其他函数上面贴过就不重复贴啦)： ```java //假设 num1>num2 public static String divideString(String num1,String num2) { String value="0";//结果 while (compare(num1,num2)) { StringBuilder sbTeam=new StringBuilder(num2);//用这个往后面不断加0 和num做减法 StringBuilder sbCount=new StringBuilder("1");//次数 可能很大 int subLen=num1.length()-num2.length();//统计大概要加几个零 for(int i=0;i<subLen;i++) { sbTeam.append('0'); sbCount.append('0'); } //如果0 加多了 那么要删一个 类似"12300" / "23" "12300"比"23000"小 //所以要 "2300" 对应比"23"扩大 "100"倍数，每减一次"2300" 则结果加"100" if(!compare(num1,sbTeam.toString())) { sbTeam=sbTeam.deleteCharAt(sbTeam.length()-1); sbCount=sbCount.deleteCharAt(sbCount.length()-1); } // 一直能减的时候 while (compare(num1,sbTeam.toString())) { num1=subtractString(num1,sbTeam.toString()); value=addStrings(sbCount.toString(),value); } } return value; } ``` 简单测试了下，正确性还是ok的：  ### 番外篇 除了上面直接的大数加减乘除，还有一些变形的题目需要我们特殊处理一下，比如可能会使用链表等存储处理，下面分享两道题。 两数相加([力扣02](https://leetcode-cn.com/problems/add-two-numbers/)) 题目描述： >给你两个 非空 的链表，表示两个非负的整数。它们每位数字都是按照 逆序 的方式存储的，并且每个节点只能存储 一位 数字。请你将两个数相加，并以相同形式返回一个表示和的链表 > >你可以假设除了数字 0 之外，这两个数都不会以 0 开头。  **提示：** - 每个链表中的节点数在范围 `[1, 100]` 内 - `0 <= Node.val <= 9` - 题目数据保证列表表示的数字不含前导零 本题其实就是用一个链表存储一个数字(逆序存储)，你需要给它计算出结果后在 逆序 存储到一个链表中返回。 所谓加法的运算规则：**从两个数的最低位进行计算，进行到下一位的时候需要考虑进位问题。一直到最后**，而本题所给的链表刚好可以用来直接计算，因为链表头都是数字最低位可以直接相加，然后一直遍历到结束。可以用一个常数表示进位。  在具体实现(链表)的时候： - 创建新的链表，每次将计算的数值插入到链表尾部即可。 - 需要准确表示进位，并且最后要考虑以下进位 - 妥善返回正确节点，可以用一个头节点用来使得所有节点都正常操作，而不需要特殊判断。 通过代码第一次比较啰嗦的写法： 当然，如果你遍历链表把各个数字取出来，使用字符串、数字转换然后相加得到一个数字，最后在转成字符串、链表的理论可以，可以自行实现。 优化后的代码为： ```java //更简洁的写法 public ListNode addTwoNumbers(ListNode l1, ListNode l2) { ListNode node=new ListNode(0); ListNode team=node; int jin=0;//进位 while(l1!=null||l2!=null) { int num=jin; if(l1!=null) { num+=l1.val;l1=l1.next; } if(l2!=null) { num+=l2.val;l2=l2.next; } jin=num/10; num%=10; team.next=new ListNode(num); team=team.next; } if(jin!=0)team.next=new ListNode(jin); return node.next; } ``` 两数相加2([力扣445](https://leetcode-cn.com/problems/add-two-numbers/)) 题目描述： >给你两个 非空 链表来代表两个非负整数。数字最高位位于链表开始位置。它们的每个节点只存储一位数字。将这两数相加会返回一个新的链表。 > >你可以假设除了数字 0 之外，这两个数字都不会以零开头。 > >进阶：如果输入链表不能修改该如何处理？换句话说，你不能对列表中的节点进行翻转。 示例： > 输入：(7 -> 2 -> 4 -> 3) + (5 -> 6 -> 4) > > 输出：7 -> 8 -> 0 -> 7 本题的话和上面不一样链表不是逆置的，但是**加法运算其实需要从最后面对齐开始**，也就是理论上应该从链表尾部开始向前，但是这是个单链表，这样运算的话时间复杂度太高，所以我们**要用空间换时间：用栈来解决。** 将链表的节点依次放到两个栈中，然后两个栈同时取数计算。但是待返回的是个链表，所以采取头插法即可(如果不头插最后反转也可)，具体流程可以参考如下图：  实现代码为： ```java /** * Definition for singly-linked list. * public class ListNode { * int val; * ListNode next; * ListNode(int x) { val = x; } * } */ class Solution { public ListNode addTwoNumbers(ListNode l1, ListNode l2) { Stack<Integer>stack1=new Stack<>(); Stack<Integer>stack2=new Stack<>(); while (l1!=null) { stack1.add(l1.val); l1=l1.next; } while (l2!=null) { stack2.add(l2.val); l2=l2.next; } ListNode val=new ListNode(0);//带头结点 int moreadd=0;//余数 while (!stack1.isEmpty()||!stack2.isEmpty()||moreadd!=0) { int num=moreadd;//num=余数+链表1+链表2 if(!stack1.isEmpty()) num+=stack1.pop(); if(!stack2.isEmpty()) num+=stack2.pop(); moreadd=num/10; num=num%10; //链表头插 ListNode node=new ListNode(num); node.next=val.next; val.next=node; } return val.next; } } ``` ### 结尾 到这里，大数的加减乘除基本都讲解完啦，不知道你有没有收获，因为这里的大数都是用字符串的方式存储和处理，遇到的最多，但是也可能遇到一些链表、数组等其他形式存储的需要处理，但是整体的思想都是一样的。 如果有收获，欢迎支持一波 并查集从入门到出门 短小精悍的多源最短路径算法—Floyd算法