数据结构与算法—二叉排序(查找)树 agile Posted on Jul 13 2023 数据结构与算法 ### 前言 >前面介绍学习的大多是线性表相关的内容，把指针搞懂后其实也没有什么难度，规则相对是简单的，后面会讲解一些比较常见的数据结构，用多图的方式让大家更容易吸收。 在数据结构与算法中，树是一个比较大的家族，家族中有很多厉害的成员，这些成员有二叉树和多叉树(例如B+树等)，而二叉树的大家族中，二叉搜索树(又称二叉排序树)是最最基础的，在这基础上才能继续拓展学习AVL(二叉平衡树)、红黑树等知识。 对于二叉排序树而言，本章重点关注其实现方式以及插入、删除步骤流程，我们会手写一个二叉排序树，二叉树遍历部分的内容比较多会单独详细讲解。 ### 什么是树 树是一种数据结构，它是由n(n>=1)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。  树是递归的，将树的任何一个节点以及节点下的节点都能组合成一个新的树，所以树的很多问题都是使用递归去完成。 **根节点：** 最上面的那个节点(root)，根节点没有父节点，只有子节点（0个或多个都可以） **层数：** 一般认为根节点是第1层(有的也说第0层)，而**树的高度**就是层数最高(上图层数开始为1)节点的层数 **节点关系:** - 父节点：连接该节点的上一层节点, - 孩子节点: 和父节点对应，上下关系。而祖先节点是父节点的父节点(或者祖先）节点。 - 兄弟节点：拥有同一个父节点的节点们！ **节点的度:** 就是节点拥有**孩子节点**的个数(是直接连接的孩子不是子孙). **树的度:** 就是所有节点中最大 **(节点的度)**。同时，如果度大于0的节点是分支节点,度等于0的节点是叶子节点（没有子孙）。 **相关性质**： <img src="https://bigsai.oss-cn-shanghai.aliyuncs.com/img/image-20210402001215174.png" alt="image-20210402001215174" style="zoom:50%;" /> ### 二叉树 二叉树是一树的一种，但应用比较多，所以需要深入学习，**二叉树的每个节点最多只有两个子节点**(但不一定非得要有两个节点)。 **二叉树与度为2的树的**区别： 1、度为2的的树必须有三个节点以上(否则就不叫度为二了，一定要先存在)，二叉树可以为空。 2、二叉树的度不一定为2,比如**斜树**。 3、二叉树有左右节点区分，而度为2的树没有左右节点的区分。 **几种特殊二叉树：** **满二叉树**：高度为n的满二叉树有(2^n) -1个节点  **完全二叉树**：上面一层全部满，最下一层从左到右顺序排列  二叉排序树：树按照一定规则插入排序(本文详解)。 平衡二叉树：树上任意节点左子树和右子树深度差距不超过1(后文详解). **二叉树性质：** 1、二叉树有用树的性质 2、非空二叉树叶子节点数=度为2的节点数+1.本来一个节点如果度为1.那么一直延续就一个叶子，但如果出现一个度为2除了延续原来的一个节点，会多出一个节点需要维系。所以到最后会多出一个叶子。 3、非空第i层最多有2^(i-1)个节点。 4、高为h的树最多有(2^h)-1个节点(等比求和)。 二叉树一般用链式存储，这样内存利用更高，但二叉树也可以用数组存储的(经常会遇到)，各个节点对应的下标是可以计算出来的，就拿一个完全二叉树若从左往右，从上到下编号如图：  ### 二叉排序(搜索)树 #### 概念 前面铺垫那么多，咱们言归正传，详细讲解并实现一个二叉排序树，二叉搜索树拥有二叉树的性质，同时有一些自己的规则： 首先要了解二叉排序树的规则：**从任意节点开始，节点左侧节点值总比节点右侧值要小。** 例如一个二叉排序树依次插入`15，6，23，7，4，71，5，50`会形成下图顺序  #### 构造 二叉排序树是由若干节点(node)构成的，对于node需要这些属性：left，right，和value。其中left和right是左右指针指向左右孩子子树，而value是储存的数据，这里用int 类型。 `node`类构造为： ```java class node {//结点 public int value; public node left; public node right; public node() { } public node(int value) { this.value=value; this.left=null; this.right=null; } public node(int value,node l,node r) { this.value=value; this.left=l; this.right=r; } } ``` 既然节点构造好了，那么就需要节点等其他信息构造成树，有了链表构造经验，很容易得知一棵树最主要的还是`root`根节点。 所以树的构造为： ```java public class BinarySortTree { node root;//根 public BinarySortTree() {root=null;} public void makeEmpty()//变空 {root=null;} public boolean isEmpty()//查看是否为空 {return root==null;} //各种方法 } ```  #### 主要方法 既然已经构造好一棵树，那么就需要实现主要的方法,因为二叉排序树中**每个节点都能看作一棵树**。所以我们创建方法的是时候加上节点参数(方便一些递归调用) #### findmax(),findmin() **findmin()找到最小节点：** 因为所有节点的最小都是往左插入，所以只需要找到最左侧的返回即可，具体实现可使用递归也可非递归while循环。 **findmax()找到最大节点：** 因为所有节点大的都是往右面插入，所以只需要找到最右侧的返回即可，实现方法与findmin()方法一致。 **代码使用递归函数** ```java public node findmin(node t)//查找最小返回值是node，调用查看结果时需要.value { if(t==null) {return null;} else if(t.left==null) {return t;} else return(findmin(t.left)); } public node findmax(node t)//查找最大 { if(t==null) {return null;} else if(t.right==null) {return t;} else return(findmax(t.right)); } ```  #### isContains(int x) 这里的意思是查找二叉查找树中是否存在值为x的节点。 在具体实现上，根据二叉排序树左侧更小，右侧更大的性质进行往下查找，如果找到值为x的节点则返回true，如果找不到就返回false，当然实现上可以采用递归或者非递归，我这里使用非递归的方式。 ```java public boolean isContains(int x)//是否存在 { node current=root; if(root==null) {return false;} while(current.value!=x&¤t!=null) { if(x<current.value) {current=current.left;} if(x>current.value) {current=current.right;} if(current==null) {return false;}//在里面判断如果超直接返回 } //如果在这个位置判断是否为空会导致current.value不存在报错 if(current.value==x) {return true;} return false; } ``` #### insert(int x) 插入的思想和前面`isContains(int x)`类似，找到自己的位置(空位置)插入。 但是具体实现上有需要注意的地方，**我们要到待插入位置上一层节点**，你可能会疑问为什么不直接找到最后一个空，然后将current赋值过去`current=new node(x)`，这样的化current就相当于指向一个new node(x)节点，和原来树就脱离关系(原树相当于没有任何操作)，所以要提前通过父节点判定是否为空找到位置，找到合适位置通过父节点的left或者right节点指向新创建的节点才能完成插入的操作。 ```java public node insert(int x)// 插入 t是root的引用 { node current = root; if (root == null) { root = new node(x); return root; } while (current != null) { if (x < current.value) { if (current.left == null) { return current.left = new node(x);} else current = current.left;} else if (x > current.value) { if (current.right == null) { return current.right = new node(x);} else current = current.right; } } return current;//其中用不到 } ``` 比如说上面树插入值为51的节点。  #### delete(int x) 删除操作算是一个相对较难理解的操作了，因为待删除的点可能在不同位置所以具体处理的方式也不同，如果是叶子即可可直接删除，有一个孩子节点用子节点替换即可，有两个子节点的就要先找到值距离待删除节点最近的点(左子树最大点或者右子树最小点)，将值替换掉然后递归操作在子树中删除已经替换的节点，当然没具体分析可以看下面： **删除的节点没有子孙:** 这种情况不需要考虑，直接删除即可(`节点=null`即可)(图中红色点均满足这种方式)。  **一个子节点为空：** 此种情况也很容易，直接将删除点的子节点放到被删除位置即可。  **左右节点均不空** 左右孩子节点都不为空这种情况是相对比较复杂的，因为不能直接用其中一个孩子节点替代当前节点(放不下，如果孩子节点也有两个孩子那么有一个节点无法放，例如拿下面71节点替代)  如果拿19或者71节点填补。虽然可以保证部分侧大于小于该节点，但是会引起合并的混乱，比如你若用71替代23节点。那么你需要考虑三个节点`(19,50,75)`之间如何处理，还要考虑他们是否满，是否有子女，这是个复杂的过程，不适合考虑。 所以，**我们要分析我们要的这个点的属性**：能够**保证该点在这个位置仍满足二叉搜索树的性质**(找到值最近的)，那么子树中哪个节点满足这样的关系呢？ **左子树中最右侧节点**或者**右子树中最左侧节点**都满足，我们可以选一个节点将待删除节点值替换掉(这里替换成左子树最右侧节点)。 这个点替换之后该怎么办呢？很简单啊，二叉树用**递归思路**解决问题，再次调用删除函数在左子树中删除替换的节点即可。  这里演示是选取左子树最大节点(最右侧)替代，当然使用右子树最小节点也能满足在这待删除的大小关系，原理一致。整个删除算法流程为：  这部分操作的代码为： ```java public node remove(int x, node t)// 删除节点 { if (t == null) { return null; } if (x < t.value) { t.left = remove(x, t.left); } else if (x > t.value) { t.right = remove(x, t.right); } else if (t.left != null && t.right != null)// 左右节点均不空 { t.value = findmin(t.right).value;// 找到右侧最小值替代 t.right = remove(t.value, t.right); } else // 左右单空或者左右都空 { if (t.left == null && t.right == null) { t = null; } else if (t.right != null) { t = t.right; } else if (t.left != null) { t = t.left; } return t; } return t; } ``` #### 完整代码 这个完整代码是笔者在大三时候写的，可能有不少疏漏或者不规范的地方，仅供学习参考，如有疏漏错误还请指正。 二叉排序树完整代码为： ```java package 二叉树; import java.util.ArrayDeque; import java.util.Queue; import java.util.Stack; public class BinarySortTree { class node {// 结点 public int value; public node left; public node right; public node() { } public node(int value) { this.value = value; this.left = null; this.right = null; } public node(int value, node l, node r) { this.value = value; this.left = l; this.right = r; } } node root;// 根 public BinarySortTree() { root = null; } public void makeEmpty()// 变空 { root = null; } public boolean isEmpty()// 查看是否为空 { return root == null; } public node findmin(node t)// 查找最小返回值是node，调用查看结果时需要.value { if (t == null) { return null; } else if (t.left == null) { return t; } else return (findmin(t.left)); } public node findmax(node t)// 查找最大 { if (t == null) { return null; } else if (t.right == null) { return t; } else return (findmax(t.right)); } public boolean isContains(int x)// 是否存在 { node current = root; if (root == null) { return false; } while (current.value != x && current != null) { if (x < current.value) { current = current.left; } if (x > current.value) { current = current.right; } if (current == null) { return false; } // 在里面判断如果超直接返回 } // 如果在这个位置判断是否为空会导致current.value不存在报错 if (current.value == x) { return true; } return false; } public node insert(int x)// 插入 t是root的引用 { node current = root; if (root == null) { root = new node(x); return root; } while (current != null) { if (x < current.value) { if (current.left == null) { return current.left = new node(x);} else current = current.left;} else if (x > current.value) { if (current.right == null) { return current.right = new node(x);} else current = current.right; } } return current;//其中用不到 } public node remove(int x, node t)// 删除节点 { if (t == null) { return null; } if (x < t.value) { t.left = remove(x, t.left); } else if (x > t.value) { t.right = remove(x, t.right); } else if (t.left != null && t.right != null)// 左右节点均不空 { t.value = findmin(t.right).value;// 找到右侧最小值替代 t.right = remove(t.value, t.right); } else // 左右单空或者左右都空 { if (t.left == null && t.right == null) { t = null; } else if (t.right != null) { t = t.right; } else if (t.left != null) { t = t.left; } return t; } return t; } } ``` ### 结语 这里我们学习了解了树、二叉树、以及二叉搜素树，对于二叉搜素树插入查找比较容易理解，但是实现的时候要注意函数参数的引用等等。 偏有难度的是二叉树的删除，利用一个递归的思想，分类讨论待删除情况，要找到特殊情况和普通情况，递归一定程度也是问题的转化(**转成自己相同问题，作用域减小**)需要思考。 下面还会介绍二叉树的三序遍历(**递归和非递归**)和层序遍历。这些都是比较经典热门的问题需要深入了解。 如果看了本文觉得有收获欢迎 点赞、在看、分享一波，也欢迎加我好友一起学习交流，我也创了一个力扣打卡群，里面很多热情的伙伴希望一起进步！ 数据结构与算法—队列详解 数据结构与算法—二叉树的层序遍历