数据结构与算法—递归算法(从阶乘、斐波那契到汉诺塔的递归图解) agile Posted on Jul 13 2023 数据结构与算法 大家好，我是bigsai，今天给大家讲讲递归。 ### 什么是递归？ 递归：就是函数自己调用自己。 子问题须与原始问题为同样的事，或者更为简单。 递归通常可以简单的处理子问题，但是不一定是最好的解决方式。  对于递归要分清以下概念： - 递归是自己调用自己 - 递归通常不在意具体操作，只关心**初始条件**、**结束条件**和**上下层的变化关系**。 - 递归函数需要有**临界停止点(结束条件)**，即递归不能无限制的执行下去。通常这个点为必须经过的一个数。 - 递归可以被栈替代。有些递归可以优化。比如遇到重复性的可以借助空间内存记录而减少递归的次数 认识递归，递归函数通常看起来简易但是对于初学者可能很难去理解它，拿一个递归函数来说。 ```java static void digui() { System.out.println("bigsai前"); digui(); System.out.println("bigsai后"); } ``` 这是一个递归嘛？不是正常递归，没有结束条件，自己一致调用自己导致无限循环。 那正确的递归应该这样 ```java static void digui(int time) { if(time==0) {}//time==0不执行 else { System.out.println("bigsai前time: "+time); digui(time-1); System.out.println("bigsai后time: "+time); } } ``` 对于这样一种递归，它的流程大致是这样的 ``` 定义递归算法及参数 - 停止递归算法条件 - (可存在)其他逻辑 - 递归调用(参数需要改变) - (可存在)其他逻辑 ```  所以，调用digui(5)在控制台输出是这样的  那么，我想你对递归函数执行的流程应该有所了解了吧。 ### 递归求阶乘 初学递归，接触最多的就是递归求阶乘，为啥阶乘可以用递归来求呢? 我们首先看下阶乘，n的阶乘表示为： `n!=n*(n-1)*……*1` n的阶乘就是从1开始叠乘到n，那么n-1的阶乘为： `(n-1)!=(n-1)*(n-2)*……*1` 通过观察就能知道n的阶乘和n-1的阶乘有这样的关系： `n!`=`n!=n*(n-1)!` 所以，我们要求n的阶乘，我们知道n-1的阶乘乘以n就可以得到，这就是最核心的关系。 0的阶乘为1，通过阶乘上下级的关系，我们假设一个函数jiecheng(n)为求n的阶乘的函数，那么这个函数为： ```java static int jiecheng(int n) { if(n==0)//0的阶乘为1 { return 1; } else { return n*jiecheng(n-1);//return n*(n-1)*jiecheng(n-2)=------- } } ``` 运行流程为这样：  ### 递归求斐波那契 斐波那契数列，已经跟随我们成长很久很久了，除了直接的斐波那契，爬楼梯等问题也和斐波那契问题差不多。 首先，求斐波那契的公式为： `F[n]=F[n-1]+F[n-2](n>=3,F[1]=1,F[2]=1)` 也就是除了n=1和2特殊以外，其他均是可以使用递推式，按照上述递归思想，我们假设求斐波那契设成F(n)； 那么递推实现的代码为： ```java static long F(int n) { if(n==1||n==2) {return 1;} else { return F(n-1)+F(n-2); } } ``` 其实它的调用流程为：  不过这个斐波那契这样的求法效率并不高，后面会提一嘴。 ### 递归解决汉诺塔 汉诺塔是经典递归问题： >相传在古印度圣庙中，有一种被称为汉诺塔(Hanoi)的游戏。该游戏是在一块铜板装置上，有三根杆(编号A、B、C)，在A杆自下而上、由大到小按顺序放置64个金盘(如下图)。游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并仍保持原有顺序叠好。操作规则：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上。  1. 如果A只有一个（A->C） 2. 如果A有两个（A->B）,(A->C),(B->C) 3. 如果A有三个（A->C）,(A->B),(C->B),(A->C),(B->A),(B->C),(A->C). 4. 如果更多，那么将会爆炸式增长。  可以发现每增加一步，其中的步骤会多很多，如果一步步想，很难想明白，所以要用递归全局的想法看问题。 当有1个要从A->C时，这里使用函数**move(A,C)**表示(其他move操作同理)。 用**hannuo(n)**函数表示总共n个盘子要从A->C。 递归，其实就是要找上下层的关系，n个盘子从A挪到C和n-1个盘子从A挪到C有啥联系(hannuo(n)—>hannuo(n-1)有啥关系)。下面带你一步步分析。 假设有n个盘子 hannuo(n-1)之后n-1个盘子从A—>C.  此时剩下底下最大的，只能移动到B，move(A,B)  那么你是否发现什么眉目了，**只需原先的huannuo(n-1)相同操作从C—>B即可完成转移到B**，所以这个需要**加参数表示其方向性**，那么我们的之前函数应该写成`hannuo(n-1,A,C)`,但是着这里肯定又用到B(向下需要用到)，所以把B传进来`hannuo(n-1,A,B,C)`先表示为**从n-1个从A(借助B执行若干操作)转到C**。  这一系列操作使得将n个盘子从A—>B但是我们要的是A—>C才是需要的hannuo(n,A,B,C)，这个很容易啊我们只需要第一步将n-1挪到B上就可以了啊。 经过上面分析，那么完整的操作为： ```java package 递归; public class hannuota { static void move(char a,char b) { System.out.println("移动最上层的"+ a+ "到"+ b+ "\t"); } static void hannuota(int n,char a,char b,char c)//主要分析每一大步对于下一步需要走的。 { if(n==1) {move(a,c);}//从a移到c else { hannuota(n-1,a,c,b);//将n-1个从a借助c移到b move(a,c); //将第n（最后一个）从a移到c。 hannuota(n-1,b,a,c);//再将n-1个从b借助a移到c } } public static void main(String[] args) { hannuota(5,'a','b','c'); } } ``` 这样，汉诺塔问题是不是搞懂了？ ### 递归 VS 记忆化 很多时候，递归的效率是很低的(一个递归拆分成两个及以上子问题效率就不太行了)，我们要用动态规划或者**记忆化**去优化，为什么要记忆化？因为递归成子问题，子问题再拆分成子问题，**造成很多的重复计算**！ 比如上面说到的递归求斐波那契数列，就是一个效率非常低的算法，比如你看看F(5)是这样走的：  在递归求F(4)时候，F(4)递归会求解F(3)，但是右侧的还会再执行一遍。如果是数量非常大的数，那么将耗费很大的时间。所以我们就可以采取记忆化！第一次算出结果的时候就存储一下，如果是线性有规律(大部分)就用数组，否则就用HashMap存储。 具体实现的代码为: ```java static long F(int n,long record[]) { if(n==1||n==2) {return 1;} if(record[n]>0) return record[n]; else record[n]=F(n-1,record)+F(n-2,record); return record[n]; } public static void main(String[] args) { int n=6; long[] record = new long[n+1]; System.out.println(F(n,record)); } ``` 这样可以节省很多时间，尤其是n非常大的情况(递归是指数级别增长，记忆化是线性级别)。例如一个F(6)求解过程：  当然，记忆化的问题远远不止这么多，具体还需要自行学习。 ### 递归 VS 数据结构 递归在很多场景都有很好的应用，在链表中、二叉树、图中(搜索算法)都有很多的应用，这里就举一些非常经典的例子。 比如在链表中，很经典的就是链表逆序输出、链表反转问题，比如链表反转问题，对应力扣206(给你单链表的头节点 `head` ，请你反转链表，并返回反转后的链表)，可以这样巧妙的实现： ```java /** * Definition for singly-linked list. * public class ListNode { * int val; * ListNode next; * ListNode() {} * ListNode(int val) { this.val = val; } * ListNode(int val, ListNode next) { this.val = val; this.next = next; } * } */ class Solution { public ListNode reverseList(ListNode head) { if(head==null||head.next==null) return head; ListNode node =reverseList(head.next);//返回最后的链表节点 head.next.next=head;//后一个节点指向自己 head.next=null;//自己next指向null return node; } } ``` 对于二叉树，最经典的就是二叉树的前序、中序、后序遍历的递归实现方式： 例如二叉树前序遍历： ```java public void qianxu(node t)// 前序递归 前序遍历：根结点 ---> 左子树 ---> 右子树 { if (t != null) { System.out.print(t.value + " ");// 当前节点 qianxu(t.left); qianxu(t.right); } } ``` 二叉树中序遍历： ```java public void zhongxu(node t)// 中序遍历 中序遍历：左子树---> 根结点 ---> 右子树 { if (t != null) { zhongxu(t.left); System.out.print(t.value + " ");// 访问完左节点访问当前节点 zhongxu(t.right); } } ``` 二叉树的后序遍历： ```java public void houxu(node t)// 后序遍历 后序遍历：左子树 ---> 右子树 ---> 根结点 { if (t != null) { houxu(t.left); houxu(t.right); System.out.print(t.value + " "); // 访问玩左右访问当前节点 } } ``` ### 递归 VS 常见算法 在我们熟知很多算法都与递归有着很大关系。比如dfs深度优先遍历、回溯算法、分治算法等，这里只是简单介绍一下。 递归只是计算机执行一种方式，一个来回的过程，所以这个过程可以被一些算法很巧妙的运用。 **分治算法**：将问题分解成多个子问题，子问题求解完合并得到结果，这个过程可以使用递归实现(也可能不使用递归)，但大部分会用递归因为实现更加简洁，它和斐波那契递归不同的是它分裂的子问题一般没有重复的(即分完为止而不会重复计算)。常见的快排、归并排序都是使用分治算法，其算法实现借助递归。例如归并排序其流程：  算法实现为： ```java private static void mergesort(int[] array, int left, int right) { int mid=(left+right)/2; if(left<right) { mergesort(array, left, mid); mergesort(array, mid+1, right); merge(array, left,mid, right); } } private static void merge(int[] array, int l, int mid, int r) { int lindex=l;int rindex=mid+1; int team[]=new int[r-l+1]; int teamindex=0; while (lindex<=mid&&rindex<=r) {//先左右比较合并 if(array[lindex]<=array[rindex]) { team[teamindex++]=array[lindex++]; } else { team[teamindex++]=array[rindex++]; } } while(lindex<=mid)//当一个越界后剩余按序列添加即可 { team[teamindex++]=array[lindex++]; } while(rindex<=r) { team[teamindex++]=array[rindex++]; } for(int i=0;i<teamindex;i++) { array[l+i]=team[i]; } } ``` **dfs、回溯法** 通常想着枚举尽可能多的情况,很多时候我们并**不能很好知道运行界限**是在哪，并且运行中状态可能会有所变化，所以我们可以写好限定条件使用递归去实现，递归的归过程也可很好的复原去进行其他试探。包过二叉树的前中后遍历都蕴涵dfs算法思想,而回溯算法则是经典全排列、八皇后问题代表。 其流程通常为： ``` 定义回溯算法及参数 - (符合条件)跳出 - (不符合)不跳出： - - 遍历需要操作的列表&&该元素可操作&&可以继续试探 - - - 标记该元素已使用以及其他操作 - - - 递归调用(参数改变) - - - 清除该元素标记以及其他操作 ``` 此外，递归还在很多算法中有广泛的应用，这里就不具体列举啦！ ### 结语 今天递归就讲到这里啦，学好递归没那么容易，还是要具体掌握各种算法、题目才能慢慢领略递归精髓，递归用好可以写出很多骚代码！ 不过实际题目注重效率和便捷，不能盲目追求效率，也不能盲目使用递归不注意算法优化。 数据结构与算法—单源最短路径dijkstra算法 数据结构与算法—队列详解
