数论—素数筛 agile Posted on Jul 13 2023 数据结构与算法 ## 面试官本想拿求素数搞我，但被我优雅的"嘲讽"了(素数筛) 现在的面试官，是无数开发者的梦魇，能够吊打面试官的属实不多，因为大部分面试官真的有那么那几下子。但在面试中，我们这些小生存者不能全盘否定只能单点突破—从某个问题上让面试官眼前一亮。这不，今天就来分享来了。 这年头，算法岗内卷不说，开发岗也有点内卷，对开发者要求越来越高了，而面试官也是处心积虑的 "刁难" 面试者，凡是都喜欢由浅入深，凡是都喜欢问个：你知道为什么？你知道原理吗？之类。并且，以前只是大厂面试官喜欢问算法，大厂员工底子好，很多甚至有ACM经验或者系统刷题经验，这很容易理解，但现在一些小公司面试官也是张口闭口 xx算法、xx数据结构你说说看，这不，真的被问到了。 ## 求一个质数 在这么一次的过程，面试官问我算法题我不吃惊，我实现早把十大排序原理、复杂度分析、代码手写实现出来了，也把链表、树的各种操作温习的滚瓜烂熟，不过突然就是很诧异的面试官来了一道求素数问题，我把场景还原一下： > 面试官：你知道怎么求素数吗？ > 我：求素数？ > 面试官：是的，就是求素数。 > 我：这很简单啊，判断一个数为素数，那么肯定就没有两个数(除了自身和1)相乘等于它，只需要枚举看看有没有能够被它整除的数就可以了，如果有那么就不是素数，如果没有，那么就是素数。 面试官露出一种失望的表情，说我说的对，但没答到点子上，让我具体说一下。 下面开始开始我的表演： 首先，**最笨的方法**，判断n是否为素数，就是枚举[2,n-1]之间有没有直接能够被n整除的，如果有，那么返回false这个就不是素数，否则就是素数，代码如下： ```java boolean isprime(int value){ for(int i=2;i<value;i++) { if(value%i==0) {return false;} } return true; } ``` 这种判断一个素数的时间复杂度为O(n). 但是其实这种太浪费时间了，完全没必要这样，**可以优化一下** 。如果一个数不是质数，那么必定是两个数的乘积，而这两个数通常一个大一个小，并且小的小于等于**根号n**，大的大于等于**根号n**，我们只需要枚举小的可能范围，看看是否能够被整除，就可以判断这个数是否为素数啦。例如`100=2*50=4*25=5*20=10*10` 只需要找2—10这个区间即可。右侧的一定有个对应的不需要管它。 ```java boolean isprime(int value) { for(int i=2;i*i<value+1;i++) { if(value%i==0) {return false;} } return true; } ``` 这里之所以要小于value+1，就是要包含根号的情况，例如 3*3=9.要包含3.这种时间复杂度求单个数是O(logn)。面试官我给你画张图让你看看其中区别：  说到这里面试官露出欣慰的笑容。 > 面试官：不错不错，基本点掌握了 > 我：老哥，其实求素数精髓不在这，这个太低效在很多时候，比如求小于n的所有素数，你看看怎么搞？ > 面试官：用个数组用第二种方法求nlogn还行啊。 ## 求多个素数 求多个素数的时候(小于n的素数)，上面的方法就很繁琐了，因为有大量重复计算，因为 **计算某个数的倍数** 是否为素数的时候出现大量的重复计算，如果这个数比较大那么对空间浪费比较多。 这样，素数筛的概念就被发明和使用。筛的原理是从前往后进行一种递推、过滤排序以来统计素数。 ### 埃拉托斯特尼(Eratosthenes)筛法 我们看一个数如果不是为素数，那么这个数没有数的乘积能为它，那么这样我们可以根据这个思想进行操作啊： 直接从前往后枚举，这个数位置没被标记的肯定就是素数，如果这个数是素数那么将这个数的倍数标记一下(下次遍历到就不需要在计算)。如果不是素数那么就进行下一步。这样数值越大后面计算次数越少，在进行具体操作时候可借助数组进行判断。所以**埃氏筛的核心思想就是将素数的倍数确定为合数**。 假设刚开始全是素数，2为素数，那么2的倍数均不是素数；然后遍历到3，3的倍数标记一下；下个是5(因为4已经被标记过)；一直到n-1为止。具体流程可以看图：  具体代码为： ```java boolean isprime[]; long prime[]; void getprime() { prime=new long[100001];//记录第几个prime int index=0;//标记prime当前下标 isprime=new boolean [1000001];//判断是否被标记过 for(int i=2;i<1000001;i++) { if(!isprime[i]) { prime[index++]=i; } for(int j=i+i;j<1000000;j=j+i)//他的所有倍数都over { isprime[j]=true; } } } ``` 这种筛的算法复杂度为O(nloglogn);别小瞧多的这个logn，数据量大一个log可能少不少个0，那时间也是十倍百倍甚至更多的差距。 ## 欧拉筛 面试官已经开始点头赞同了，哦哦的叫了起来，可其实还没完。还有个线性筛—欧拉筛。观察上述的埃氏筛，有很多重复的计算，尤其是前面的素数，比如2和3的最小公倍数为6，每3次2的计算就也会遇到是3的倍数，而欧拉筛在埃氏筛的基础上改进，有效的避免了这个重复计算。 具体是何种思路呢？就是埃氏筛是遇到一个质数将它的倍数计算到底，而欧拉筛则是只用**它乘以已知晓的素数的乘积进行标记**，如果素数能够被整除那就停止往后标记。 在实现上同样也是用两个数组，一个存储真实有效的素数，一个用来作为标记使用。 - 在遍历到一个数的时候，如果这个数没被标记，那么这个数存在素数的数组中，对应下标加1. - 不管这个数是不是素数，遍历已知素数将它和该素数的乘积值标记，如果这个素数能够被当前值i整除，那么停止操作进行下一轮。 具体实现的代码为： ```java boolean isprime[]; int prime[]; void getprimeoula()// 欧拉筛 { prime = new int[100001];// 记录第几个prime int index = 0; isprime = new boolean[1000001]; for (int i = 2; i < 1000001; i++) { if (!isprime[i]) { prime[index++] = i; } for (int j = 0; j < index && i * prime[j] <= 100000; j++){//已知素数范围内枚举 isprime[i * prime[j]] = true;// 标记乘积 if (i % prime[j] == 0) break; } } } ``` 你可能会问为啥`if (i % prime[j] == 0)`就要break。 如果`i%prime[j]==0`，那么就说明`i=prime[j]*k`. k为一个整数。 那么如果进行下一轮的话 `i*prime[j+1]=(prime[j]*k)*prime[j+1]=prime[j]*(k*prime[j+1]) ` 当`i=k*prime[j+1]`两个位置就产生冲突重复计算啦,所以一旦遇到能够被整除的就停止。  你可以看到这个过程，6只标记12而不标记18，18被9*2标记。详细理解还需要多看看代码想想。过程图就不画啦！欧拉的思路就是离我较近的我给它标记。欧拉筛的时间复杂度为O(n)，因为每个数只标记一次。 面试官露出一脸欣赏的表情，说了句不错，下面就是聊聊家常，让我等待下一次面试！  数据结构与算法—字典树 学弟不懂原码反码补码，气的我给女朋友彻底讲了一夜