矩阵运算与常用矩阵 agile Posted on Oct 2 2021 优秀博文 > 本文由 [简悦 SimpRead](http://ksria.com/simpread/) 转码， 原文地址 [zhuanlan.zhihu.com](https://zhuanlan.zhihu.com/p/362082020) 概念 -- 由 m*n 个数排成的 m 行 n 列的数表称为 m 行 n 列的矩阵，简称 m*n 矩阵。记作：  这 m*n 个数称为矩阵的元素，简称为元，数  位于矩阵  的第 i 行第 j 列，称为矩阵  的 (i, j) 元。 元素是实数的矩阵称为**实矩阵**，元素是复数的矩阵称为**复矩阵**。 若多个矩阵的行数和列数相同，我们称它们为**同型矩阵**。 行数与列数都等于 n 的矩阵称为 **n 阶矩阵或 n 阶方阵**。若多个方阵的行数（行数 = 列数）相同，我们称它们为**同阶矩阵**。 基本运算 ---- 矩阵的加减法和矩阵的数乘合称矩阵的线性运算 ### 加法 只有同型矩阵之间才可以进行加法运算，将两个矩阵相同位置的元相加即可，m 行 n 列的两个矩阵相加后得到一个新的 m 行 n 列矩阵，例如：   **运算律**： 交换律：  结合律：  ### 减法 与加法类似，如下：   ### 数乘 数乘即将矩阵乘以一个常量，矩阵中的每个元都与这个常量相乘，例如：   **运算律**：     ### 转置 把矩阵  的行和列互相交换所产生的矩阵称为 A 的转置矩阵（标记为  ），这一过程称为矩阵的转置。   **运算律**：    ### 共轭 对于一个复数矩阵  ，我们对其做实部不变，虚部取负的操作即为共轭操作，记作  。例如  则  ### 乘法 两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵的**列数**和另一个矩阵的**行数**相等时才能定义，_m_×_n_ 矩阵  和 _n_×_p_ 矩阵  相乘，会得到一个 _m_×_p_ 矩阵  ，记为  。  中第 i 行 j 列的元即为：  式子看着很复杂，其实很简单，  **中第 i 行第 j 列的元素的值为：**  **中第 i 行所有元素 与**  **中第 j 列的所有元素一一对应相乘，然后将相乘后的所有值相加**。 例如：  我们看结果中的第一行第二列 1*9+3*0+5*1，不就是前者的第一行 1,3,5 和后者的第二列 9,0,1 互相相乘然后相加。 **运算律**：    不满足交换律，即  例如 1*3 的矩阵乘以 3*1 的矩阵得到的是 1*1 的矩阵（每 n 行乘以每 n 列，左边只有一行，右边只有一列，**向量的点乘**就属于这种情况）：  而把它们反过来，即 3*1 的矩阵乘以 1*3 的矩阵，就变成了 3*3 的矩阵：  ### 矩阵与向量相乘 向量用矩阵表示的话，是属于一个 n*1 的矩阵，例如二维向量为  ，三维向量为  因此一个 m * 2 的矩阵可以乘以一个二维向量，m * 3 的矩阵可以乘以一个三维向量。 这点对于**向量的变换运算**非常的重要，例如我们想要将向量 (x, y) 做一个 y 轴的对称操作，即变为 (-x, y) ，只需要用下面的矩阵乘以这个向量即可：  ### 矩阵表示向量的点积  ### 矩阵表示向量的叉积  至于左边这个矩阵怎么来的？可以看后续的三维旋转推导。 ### 哈达玛积 (Hadamard product) 矩阵还有一种运算叫作哈达玛积或者基本积，该运算类似于矩阵的加减法，将两个 m*n 的同阶矩阵  、  的对应位置相乘得到一个 m*n 的新矩阵  ，常记作  或  。 例如：   **运算律**：    \ 常用的特殊的矩阵 -------- ### 单位矩阵 单位矩阵是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为 1，除此以外全都为 0，即  单位矩阵记为  或者  ，通常用  或  表示，例如：   **重要性质**：任何矩阵  乘以单位矩阵  ，或者单位矩阵  乘以任何矩阵  的结果都为  。记作：  或  ### 逆矩阵 设  是一个 n 阶矩阵，若存在另一个 n 阶矩阵  ，使得：  （  为单位矩阵），则称方阵  可逆，并称方阵  是  的逆矩阵。 若矩阵  可逆，则其的逆矩阵是唯一的，记为  ，则  或  。 一些性质： 若  可逆，则  若  可逆，则其转置矩阵  也可逆，且  若  ，  都可逆，则  ### 对角矩阵 当一个方阵上所有非对角线上的元素均为 0 时，即  时  ，该矩阵即为对角矩阵。例如：  它可用于缩放变换，假如我们要将 (x, y) 分别缩放 m 倍和 n 倍，变为 (mx, ny) 那么就可以用下面矩阵来表达：  该对角矩阵也可称为**缩放矩阵**。 ### 正交矩阵 如果有个 n 阶实矩阵  ，它满足  或  ，则称  为正交矩阵，正交矩阵常用字母  来表示。 我们可以发现这和逆矩阵的定义（  ）很像，因此正交矩阵的转置等于其逆矩阵，即 。 除此之外，  或  的**各行都是单位向量且两两正交，且各列也都是单位向量且两两正交**。 **推导：** 假设  为正交矩阵，那么  ，可得：  可得 ac+bd=0，aa+bb=cc+dd=1。 若按照  的行来取向量，我们可得到向量  和  。 做点积得  ，前面已得到 ac+bd=0，所以  ，根据正交的定义可得，这两个向量正交。 然后再来取模，可得  ，前面得到 aa+bb=1，因此  的模长为 1，为单位向量，  同理为单位向量。 上面我们验证了  中各行都是单位向量且两两正交，要验证每列也是这样的情况只需要使用  来推导即可。同样的在三维空间也可以用此方法来推导，用 3*3 的矩阵相乘即可。 在坐标系中，我们 x 轴的单位向量为 (1, 0, 0)，y 轴为 (0, 1, 0)，z 轴为 (0, 0, 1)，那么他们所组成的矩阵即为：  它既是单位矩阵，又是正交矩阵。 向量运算与应用 Unity的内存管理与性能优化